各位好，这里是404，欢迎来到我的个人专栏【探索未然】！这个专栏的系列文章会专注于万智牌中不怎么被关注的部分，或是从新颖的角度分析万智牌中常见的问题；本专栏建立的初衷是“言之有物图一乐”，我姑且这么一说，诸位呢也姑且这么一听，若是能交流讨论，乐呵乐呵，那就再好不过了。
（原则上来说这个专栏里的一切言论仅与笔者有关，并非迷宫终点公众号的观点）
（本文又名《我为什么不推荐3+1式构筑》《别在构筑赛中带1张！》以及《404教你解高中数学题》）
我有个朋友，是个比较偏竞技的构筑牌手。他时常会对抄来的牌表进行修改，或是干脆自己构筑一套套牌——这都没什么问题，不过，他在构筑套牌时，非常喜欢3+1式地带牌。什么叫3+1呢？比方说，摩登赛制里，黑x中速的4个思绪几乎是雷打不动的主牌，但我的这位朋友呢，非常喜欢3张思绪+1张审讯的配置；再好比说，去年秘典进史迹的时候，他也兴致冲冲地去玩了，但他的洁斯凯控制（也可能是开回合或者熔彩，不记得了）不是4张闪电螺旋，而是3张奶旋+1张风化侵蚀。
啊，这样的构筑形式是否勾起了你的回忆呢？我不止一次地看到过许多牌手在微调套牌时都喜欢做出这样的调整，当然，调整的理由十分正当——“带满4张A牌固然很不错，但是，在一些对局里B牌的表现明显更好；这些对局又不算很多，所以，只带一张B既不会下降太多强度，又可以在特定对局派上用场。”
非常正确的动机，不是么？的确，审讯在打以抢血为计划的低曲线套牌时比思绪好太多了，风化侵蚀的砸神器模式在一些对局甚至能杀死比赛。但是，你真的应该这么构筑吗？
对这个问题的完全解答需要费一番功夫，不过好在他拆解起来足够简单。要确定是否应该这么做，我们可以试想这么做了之后是否能够改善情况：如果能，那么显然应当这么做；反之亦然。而且，你可以很轻易地意识到这个问题其实并不局限于某张牌或是某个套牌，也就是说，我们研究的问题完全可以表述为：
如果A牌在k的对局中表现优于B牌，而B牌在1-K的对局中优于A，那么，在我仅有4张卡位时，我应该怎么分配A与B？
如果你大脑里的英文字母报警器在滴滴作响的话，我强烈建议你还是回到上面那几个特殊的例子里去，例如，如果思绪在75%的情况下比审讯好云云。
接下来的处理也很自然。我们知道，一局游戏中很少会抓上全部60张牌，那么，这4张牌——无论怎么组合——我们到底会抓上其中的几张呢？这个问题可以很轻松地用超几何分布的知识解决，在前15张牌中（也就是游戏进行到第8-9回合的时候），期望抓起的牌张数是1张。
谢天谢地，超几何分布的期望公式笔者看得懂
既然游戏进行到后期时期望抓起的也只有4张中的1张，那接下来的运算就方便多了。简单来说，如果我们把表现作为唯一标准的话，A在K的对局里记为成功，1-k的对局里记为失败，B则相反；而，方便起见，我们也把不同的构筑方式，例如3张A和1张B，或是2张A和2张B之类的，也赋一个m代表概率（像是，在m对局中你上手的是A，其他的时候则是B），成功的概率也很容易表达为一个公式：
在k的对局中，有m的概率成功，收益记为1；在1-k的对局中，有1-m的概率成功，而除此之外，所有的失败收益都记为0，总的收益就是k*m+(1-k)*(1-m)=km+1-m-k+km=1-m-k+2mk
我们现在手头有了1-m-k+2mk这个式子，该怎么用呢？嗯，我们首先要明确k并不是个变量，我们不可能凭一己之力改变meta（有这个能力的应该也不会在看这个专栏），那么，我们的收益就只和m有关系了，既然如此，先试着处理一下吧，1-m-k+2mk可以化为（1-k)+(2k-1)m,啊，这样一来事情就简单多了！既然k是定值，那么括号中的全都可以先放在一边不用考虑，我们只需要知道这是个关于m的一次函数就行了——图像就是一条直线，要么m越大它越大，要么m越大它越小，再考虑到m只能是0,1/4,1/2,3/4与1中的一个，而最优方案显然应该使得收益尽可能地大，我们要找到的最优方案就只会在m=0和m=1中出现。
很好，我们距离解决问题只有一步之遥了，2k-1就是那个决定m是0还是1的系数；只要k比0.5大，m就只应当是1，只要k比0.5小，m就只应当是0——换句话说，只要思绪在面对大部分牌时优于审讯，你就应该带满4张思绪；而只要环境里低曲线的套牌占比超过了50%，那你就应该带满4张审讯而丝毫不考虑思绪。
在一定程度上，这个结论有些反直觉，不是么？不过，数学可不会骗人，基于这个结论反向考虑，当你决定在思绪统治大部分对局时，把其中一张换成审讯，你会获得什么？显然，在大部分对局里抓上审讯时是意料之中的失败，而小部分对局里你也不能掌控闪电，只能指望25%的概率垂青。你还能期待些什么呢？
当然，必须指出的一点是，我几乎从未看见有人在陷入这个3+1式陷阱后还能坚持放满一组式的构筑。一方面来说，有一系列著名的心理学实验【1】不得不提：
给定一个骰子或是随机纸片或是随机排列的小球序列，得到事件a的概率为p，得到事件b的概率为1-p；被试者有N次机会进行预测，每次预测成功可以获得一定量的钱。在类似实验中，尽管被试者知道p>1-p，但还是试图以概率匹配的方式——即约pN次机会预测a，（1-p）N次机会预测b——来进行预测。
这个实验常常被用来说明保持理性对人类而言是多么艰难——就好像人类的大脑天然不适合理性决策一样；当然，另一方面，对万智牌而言，很多牌手似乎无法理解“放弃某些对局”，或者说，对这些牌手而言，这似乎根本就不是一个选项——Why？一套牌本来就应该有优势对局与劣势对局，没有谁能完全不存在free lose的时候，如果有，那它一定离进小黑屋不远了。“坐以待毙”并不可怕，尤其是当你知道这只是弃车保帅的时候；坦然地接受某些对局的必然失败，才能在心理与套牌上为战胜其他套牌留出更好的姿态，不是么？
下一次，当你再次尝试3+1时，比起想象那1张牌在正确的对局让你赢的情形，不如想想在更多的对局里你抓上那张牌的感受——你真的愿意用大量对局中的少量失败，来交换少量对局中的少量胜利吗？
【1】：Dawes, Rational Choice in An Uncertain World; Yaacov Schul and Ruth Mayo, “Searching for Certainty in an Uncertain World: The Difficulty of Giving Up the Experiential for the Rational Mode of Thinking,” Journal of Behavioral Decision Making 16, no. 2 (2003): 93–106, doi:10.1002/bdm.434.
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那些的确是我朋友的例子，当然，我不否认我自己也曾经做出过类似的事情。
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一些人或许会反驳说他们能根据某些信息（例如行侣）来决定需不需要在起手时调度寻找3+1中的1，但说实话，那种情况下你就是用至少1张牌的代价来找到唯一的那一张，而我很怀疑它能否值回这样的卡差。
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另一个类型是在滤牌或抽牌效率极高的套牌里采用1111的构筑，寄希望于“不需要的滤走，需要的就抓上”；但你可以发现，在正文中我采用的是前15张牌的期望，这个数量已经是大部分套牌（即便是以高效滤牌著称的套牌）都无法在前期做到的了，可以说只有十分有把握拖到后期的套牌才有一点这样做的资本。
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这篇文章其实也是在说明为什么不应该备牌进主——或者换句话说，当备牌进主大量发生时，某一类型的套牌就已经超过50%的红线了，例如曾经那个黑绿色的夏天。
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4张和8回合15张的选定单纯是为了好算，其他的我一概没算，如果有朋友有兴趣的话欢迎在评论区分享讨论。
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我相信也一定会有人认为我将权重定为0与1过于武断，“要么高效要么死卡”与实际游戏体验并不契合；事实上，研究这个问题时我们首先就应该排除那些a与b表现相差无几的对局，它们没有研究的价值，而在剩下的对局中，它们的差异显然足够显著，可以直接赋值为0与1；另一方面，权重的改变只与临界点有关，但m本身还是与成功率线性相关，定性讨论的结果不受影响。如果定量讨论的话，记匹配时收益为Xr，不匹配时收益为Xw，且Xr>Xw,期望收益E=Xr[(1-k)+(2k-1)m]-Xw[(2k-1)m-k]=(2k-1)(Xr-Xw)m+Xr(1-k)+Xw*k，容易看出Xr-Xw恒为正，收益还是只与2k-1有关。
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其实这篇文章最大的漏洞在于边际效应；威胁上手过多过于臃肿，解牌上手过多难以致胜，更别提传奇永久物还会卡手，但考虑到上手期望很难大于1张，卡手毕竟还是小概率事件。
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这条是为了防止pet card保护协会的谴责而存在的，我这篇文章并不试图说明你不应该带pet card，我对pet card及向套牌中加入pet card的牌手持有应有的尊重。
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最后的最后，非常抱歉咕了这么久，不过我也没承诺过周更所以不算咕咕。这篇的选题其实已经在我脑海里躺了很久，但我一直都不是很想写出来——至少不是现在写出来。原因在于，这篇又需要用到一些数学知识，和前几篇放一起时，会给人一种这个专栏不该叫探索未然而该叫解出算式的感觉；而我自高中毕业后，正式学习的数学只有大学一路睡过去的微积分和统计，完全没有能力运营一个以数学为核心的万智牌专栏。总之思忖再三，我还是决定效仿营地曾经的行路杂谈翻译专栏，在每一篇的末尾（同时在营地与公众号进行）为下一篇的主题进行投票，如果有朋友认可我的专栏，打赏之后我甚至可以下一篇聊老板您你指定的内容，当然，仅限万智相关。
